ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА

Как известно, геометрию называют языком пространственных форм, и присутствие частички «ге» — свидетельство того, что в древности изучались формы и поверхности Земли.

1 Этот раздел интересен для знакомства с ходом научной мысли в связи с формированием пространственных представлений. Подробнее см.: Харвей Д. Научное объяснение в географии.- М., 1974.

Представления о пространстве можно отобразить с помощью различных (но отвечающих своему назначению) формализованных систем геометрии.

Первая попытка Евклида подвести основу под эмпирические наблюдения и частные теории, которые накопились в Древнем Вавилоне, Египте, Греции, завершилась созданием модели аксиоматического подхода — геометрической системы, имеющей чрезвычайно широкое применение. «Начала», написанные Эвклидом около 300 г. до н. э., направляли и активизировали геометрическую мысль более 2000 лет.

Геометрия Евклида с достаточной точностью отражает свойства реального физического пространства. Однако в космических масштабах Евклидова геометрия может рассматриваться лишь как первое приближение к описанию реального устройства географического пространства. Евклидово трехмерное пространство представит приближенный абстрактный образ реального пространства.

Само понятие пространства в математике сложилось в результате постепенного, все более широкого обобщения и видоизменения понятий геометрии, которые появлялись в связи с развитием математики, физики, механики.

В конце XV столетия большое значение стала занимать разработка проективной геометрии, и лишь в конце XIX в. она стала пониматься как неэвклидова.

В период между появлением «Начал» и разработкой неевклидовых геометрий успехом геометрии было изложение ее задач в алгебраическом виде. В Древнем Египте и Вавилоне, видимо, пользовались для решения пространственных задач системой координат, но только в XVII в. Декарт убедительно показал, что каждый геометрический результат может быть приведен к алгебраическому. (Так, любая точка плоскости может быть представлена двумя координатами, указывающими на расстояние от этой точки до двух осей.)

На концепции Декарта опираются и разработанные позднее аналитическая и дифференциальная геометрия.

В большей части геометрических систем исходная поверхность плоская, а изменяются соотношения между объектами, помещенными на этой поверхности. Отсюда открывается подход к построению систем посредством геодезических линий. В системе Евклида прямая определяется как кратчайший путь между двумя точками. (Все подобные пути называются геодезическими линиями.) В начале XIX в. математик К. Ф. Гаусс изучал свойства таких кратчайших путей на искривленных поверхностях (проекция Гаусса — Крюгера Для топографических карт). Г. Ф. Риман обобщил идеи Гаусса о геодезических линиях и убедительно показал, что различные системы геометрии есть частные случаи того, что впоследствии было названо геометрией Римановых пространств. Особенность подхода Римана состоит в том, что нужный тип геометрии пространства обусловлен правилами, принятыми (или неявно используемыми) для проведения пространственных измерений. Теория, намеченная Риманом, оказалась столь общей, что может быть распространена более чем на три измерения. Исходя из нее, можно рассматривать и n-мерное пространство

Русский математик Н. И. Лобачевский — основоположник неэвклидовой геометрии — понимал пространство как протяженность, присущую всем материальным объектам.

По Лобачевскому, прийти к понятию пространства можно, рассматривая мир как бесконечную последовательность граничащих друг с другом материальных тел и отвлекаясь от всех других их свойств. В этом случае свойства пространства — геометрические свойства материальных тел.

Далее с развитием науки было осознано, что вопрос о математическом пространстве отличается от вопроса о физическом пространстве. Геометрия Римана не имела очевидного приложения к физике, однако А. Эйнштейн доказал, что структура Вселенной близка к Евклидовой.

Анализ различных систем геодезических линий, их связи с различными системами координат и теми разнообразными формами поверхностей, к которым эти формы привязаны, представляет непосредственный путь к созданию новых систем геометрии. В конце XIX в. Ф. Клейн избрал путь построения геометрической системы, исходя из топологических характеристик объектов. Его система по сути неметрическая, что само по себе знаменательно как указание на качественную природу многих математических представлений.

Топология опирается на некоторые существенные свойства. Например, существенное отличие сферы от плоскости состоит в том, что сфера замкнута и конечна, тогда как плоскость незамкнута и бесконечна. Отсюда представления о характере изображения сферы на плоскости, т. е. традиционная методическая задача о картографических проекциях — изображение параллелей и меридианов на плоскости. Возможны различные пути ее решения. Птолемей и Меркатор искали конкретное решение, выводя его из геометрии. Современный взгляд на картографические проекции опирается на понятия проективной и аналитической геометрии.

Фундаментальным оказался вклад Гаусса. Он не стал просто решать задачу об отображении сферы на плоскости, а рассмотрел более общий вопрос о таком отображении любой произвольной поверхности на другую произвольную поверхность, при котором сохраняются отношения подобия. В развитие этих работ он создал дифференциальную геометрию, которая лежит в основе современных работ по картографическим проекциям.

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий